Kandidaten als Platzhalter in Kakuro

Die Strategie, Kandidaten als Platzhalter in noch leere Felder einzusetzen, wird gerne auch in Sudoku angewendet. Während Sudoku aber das bekanntere Zahlenrätsel ist, kann die gleiche Taktik mit der gleichen Logik auch als Kakuro-Strategie eingesetzt werden. Dadurch können Fortschritte zur Lösung des Rätsels gemacht werden, obwohl zunächst keine Zahl fest in ein Feld eingetragen wird. Wir schauen uns zunächst einmal die allgemeine Logik an, bevor wir weiter zu Beispielen gehen.

Wie funktioniert die Platzhalter-Technik in Kakuro?

Nehmen wir einmal an, dass wir eine Summe aus fünf Summanden bilden müssen. Der Einfachheit halber wählen wir die Summe 15, da diese bei fünf Summanden eindeutig ist und nur aus den Zahlen 1, 2, 3, 4 und 5 gebildet werden kann. Bisher ist noch keines der Felder dieser Summe ausgefüllt. Allerdings können wir mit logischen Überlegungen schließen, dass in zwei der fünf Felder nur die Ziffern 1 und 2 in Frage kommen. Auch wenn wir noch nicht wissen, welche der beiden Felder welche Zahl enthalten muss, können wir 1 und 2 als Platzhalter dort eintragen und die Felder sozusagen als gelöst anschauen, auch wenn sie es streng genommen noch nicht sind. Denn anhand der Kakuro-Regeln müssen dann auch diese beiden Felder die 1 bzw. die 2 enthalten, und beide Ziffern kommen für die anderen Felder nicht mehr in Frage. Wir können uns nun auf die drei restlichen Felder dieser Summe konzentrieren, für die nur noch 3, 4 und 5 in Frage kommen.

Beispiele für Kandidaten als Platzhalter

Schauen wir uns zum besseren Verständnis nun zwei Beispiele an. Im ersten davon habe ich im folgenden Bild die wichtigen Felder blau markiert.

Wir haben dort einmal die Summe 20 mit drei Feldern, wobei eines davon bereits mit der 3 belegt ist. Bleiben also zwei Felder mit einer Restsumme von 17. Diese lässt sich nur aus 8 und 9 bilden. Also können wir beide Ziffern als Platzhalter eintragen. Eine Reihe weiter unten haben wir dann die Summe 15 mit zwei Feldern. Hier gibt es zwei mögliche Varianten: 6 und 9 oder 7 und 8. Daran angrenzend haben wir senkrecht die Summe 13 mit vier Feldern. Wir können uns nun anschauen, ob wir in dem Feld, in dem sich die Summen 15 und 13 kreuzen, Zahlen ausschließen können.

Das geht hier auch wirklich. Würden wir hier die 8 oder die 9 einsetzen, müssten wir feststellen, dass die Restsumme zu klein ist. Bei der 9 beispielsweise bliebe noch eine Restsumme von 4, es sind aber noch drei Felder übrig. Das ist aber ein Widerspruch zu den Regeln, da man für drei Felder mindestens eine Summe von 6 benötigt (1+2+3). Das gilt analog auch für die 8 und eine Restsumme von 5. Daher können in dem fraglichen Feld nur die 6 oder die 7 stehen. Für das Feld links daneben bleiben dann nur die 8 (im Falle von 7+8) und die 9 (im Falle von 6+9). Wir können also auch dort die 8 und die 9 als Platzhalter eintragen. Das Ergebnis sehen wir dann im nächsten Bild.

Was jetzt auffällt ist die Summe 45 (die maximale Summe in einem Kakuro). Hier waren vorher bereits zwei Felder mit der 2 und der 3 belegt. Jetzt kommt noch zweimal 8/9 als Platzhalter hinzu. Wir müssen uns in dieser Summe also nur noch um fünf statt sieben restliche Felder kümmern. Es bleiben noch die Zahlen 1, 4, 5, 6 und 7.

Anschließend noch ein zweites Beispiel mit der gleichen Tatktik. Hier habe ich die entsprechende Spalte ebenfalls markiert. Es handelt sich um die Summe 45, wobei 6 und 9 schon eingetragen sind. Bleiben also noch die Zahlen von 1 bis 5 sowie 7 und 8.

Wir können uns jetzt nacheinander die senkrechten Summen anschauen, die daran grenzen. Es befindet sich zweimal die Summe 21 mit sechs Summanden (1+2+3+4+5+6), einmal die 6 mit drei Summanden (1+2+3) und einmal die 15 mit fünf Summanden (1+2+3+4+5) darunter. All dies sind eindeutige Summen. Es fällt auf, dass die 7 und die 8 in keiner dieser Summen vorkommen können. Ansonsten haben wir noch die Summe 44. In dieser sind die Felder 7 und 8 aber bereits belegt und können nicht noch einmal vorkommen. Bleiben also nur zwei andere Summen für die 7 und 8, weshalb wir sie wie im nächsten Bild dort als Platzhalter einsetzen können.

Für die Summe 45 bleiben nun nur noch die Zahlen 1 bis 5. Wenn wir nun genauer hinschauen, fällt auf, dass in vier der fünf Felder die 5 nicht eingetragen werden kann, da sie entweder bereits vorkommt oder zu groß ist. Es bleibt also nur ein Feld für die 5 in der Summe 44. Damit können wir auch das andere Feld dieser Summe mit der 4 lösen.

Die 5 konnten wir aber nur eintragen, wenn wir die 7 und 8 als Platzhalter gesehen haben. Denn theoretisch hätte die 5 auch in diesen beiden Feldern stehen können. Die Kandidaten als Platzhalter einzutragen hat uns in diesem Fall also der Lösung ein Stück näher gebracht.